薛定谔方程
　

薛定谔

 薛定谔( E.Schrodinger ,1887- 1961)

奥地利物著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一。

薛定谔在德布罗意提出的物质波的基础上,把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。

薛定谔方程
    由于微观粒子有波粒二象性 → 运动状态呈现概率波的特征；

　　如何找到描述概率波的状态的波函数 ？
　　 一般是空间和时间的函数，即
　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　

　　微观粒子在不同条件下( 例如，处于不同的外场中 ) 的运动状态是不同的，这就要用各种具体的波函数来描述其运动。因此波函数 所满足的方程中应反映出微观粒子所处的不同条件。

　　1926 年，薛定谔找到了波函数 满足的方程，从而建立了研究微观粒子运动规律的学科——量子力学。

　　若微观粒子的质量为 m，
　　微观粒子在外力场中的势能函数为 ，
　　则薛定谔方程为

　　　　　　　　   

式中 为拉普拉斯算符
　　　　　　　　　　
说明：
　　它是量子力学中最基本的方程，并非推导所得。量子力学对于粒子运动的研究，基本上归结为求各种条件下薛定谔方程的解。
　　它是一个复数偏微分方程，其解波函数 是一个复函数。
　　它是非相对论粒子的、且不发生实物粒子产生和淹灭的情况下的波函数满足的方程。

　　给定 U( r, t )，解该方程就能得到 。

定态薛定谔方程
　
    常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的稳定的势场问题，例如

　　自由运动的粒子       U = 0
　　氢原子中的电子 
                        

　　势场稳定时，波函数 可以分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积，解薛定谔方程也变得更为简单了。

　　例如： 对于一维运动的情况，波函数可写成

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　将其代入一维薛定谔方程　　　　　
                                      

　　　　两边除以 ，得　　　　　　  
                                      

于是，可得两个方程：　　
　　　　　　　
　　1、变量为 t 的方程　　　　　　　　
                                      

　　　　其解为　　　　        　　　　 　　（A 是待定复常数）—— （1）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2、变量为 x 的方程 　　　　　　　
                                    

　　　　即 　　　　　            　　
                                     　          　—— （2）

　　E —— 具有能量的量纲，以后可知 E 是粒子的能量，它包含粒子的动能和势能，但不包含静能。
　　由上面可以看出
　　　　　　　　　　　　            　

即此时概率密度可以用 来表示，它与时间无关。 称为定态波函数，（2）式是 满足的方程，称为定态薛定谔方程。

　　对势能函数 U 与时间 t 无关的一维定态问题，只须解定态薛定谔方程（2）式，再与（1）式相乘即可得波函数 。

意义
    薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。

    薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。

    经典力学中，已知力 F 及 x0、v0，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。

    量子力学中，已知起始状态、能量 E和薛定谔方程，可求粒子波函数、粒子在某一体积中概率、定态时系统能量。

    要使上式解得的波函数是合理的，对y 要求的条件：

  • 有限值可以归一化
  • 连续
  • 单值函数
   
量子数
    要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m 三个量子数。

    这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。